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【转载】第一讲 因式分解(一)  

2012-12-19 14:50:37|  分类: 资料 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自数学教育《第一讲 因式分解(一)》

第一讲 因式分解()

  多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.

  1.运用公式法

  在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:

  (1)a2-b2=(a+b)(a-b)

  (2)a2±2ab+b2=(a±b)2

  (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

  (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

  下面再补充几个常用的公式:

  (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

  (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

  (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2++abn-2+bn-1)其中n为正整数;

  (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1),其中n为偶数;

  (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2--abn-2+bn-1),其中n为奇数.

  运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.

  1 分解因式:

  (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4

  (2)x3-8y3-z3-6xyz

  (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab

  (4)a7-a5b2+a2b5-b7

   (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)

       =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

       =-2xn-1yn(x2n-y2)2

       =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2

  (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

      =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)

  (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2

     =(a-b)2+2c(a-b)+c2

     =(a-b+c)2

  本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:

  原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)

    =(a-b+c)2

  (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

      =a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

      =(a2-b2)(a5+b5)

      =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

      =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)

  2 分解因式:a3+b3+c3-3abc

  本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)

  分析 我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

  的正确性,现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

  这个 式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.

   原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

      =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

      =(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

      =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

  说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为

  a3+b3+c3-3abc

  

    

  显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c0时,则a3+b3+c3-3abc0,即a3+b3+c33abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.

  如果令x=a30y=b30z=c30,则有

  等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.

  3 分解因式:x15+x14+x13++x2+x+1

  分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.

   因为

  x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)

  所以

  

  说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.

  2.拆项、添项法

  因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.

  4 分解因式:x3-9x+8

  分析 本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.

  解法1 将常数项8拆成-1+9

  原式=x3-9x-1+9

    =(x3-1)-9x+9

    =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

    =(x-1)(x2+x-8)

  解法2 将一次项-9x拆成-x-8x

  原式=x3-x-8x+8

    =(x3-x)+(-8x+8)

    =x(x+1)(x-1)-8(x-1)

    =(x-1)(x2+x-8)

  解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3

  原式=9x3-8x3-9x+8

    =(9x3-9x)+(-8x3+8)

    =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

    =(x-1)(x2+x-8)

  解法4 添加两项-x2+x2

  原式=x3-9x+8

    =x3-x2+x2-9x+8

    =x2(x-1)+(x-8)(x-1)

    =(x-1)(x2+x-8)

  说明 由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.

  5 分解因式:

  (1)x9+x6+x3-3

  (2)(m2-1)(n2-1)+4mn

  (3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4

  (4)a3b-ab3+a2+b2+1

   (1)-3拆成-1-1-1

  原式=x9+x6+x3-1-1-1

    =(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

    =(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)

    =(x3-1)(x6+2x3+3)

    =(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)

  (2)4mn拆成2mn+2mn

  原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn

    =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn

    =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)

    =(mn+1)2-(m-n)2

    =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)

  (3)(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2

  原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4

    =(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2

    =(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2

    =(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)

  (4)添加两项+ab-ab

  原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

    =(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)

    =ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)

    =a(a-b)b(a+b)+1]+(ab+b2+1)

    =[a(a-b)+1](ab+b2+1)

    =(a2-ab+1)(b2+ab+1)

  说明 (4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验.

  3.换元法

  换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.

  6 分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12

  分析 将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了.

  x2+x=y,则

  原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

    =(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

    =(x-1)(x+2)(x2+x+5)

  说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试.

  7 分解因式:

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90

  分析 先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合.

   原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90

      =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90

      =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90

  令y=2x2+5x+2,则

  原式=y(y+1)-90=y2+y-90

    =(y+10)(y-9)

    =(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

    =(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)

  说明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础.

  8 分解因式:

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2

  x2+4x+8=y,则

  原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

    =(x2+6x+8)(x2+5x+8)

    =(x+2)(x+4)(x2+5x+8)

  说明 由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式.

  9 分解因式:6x4+7x3-36x2-7x+6

  解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2

       =6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2

       =6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2

       =6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2

       =[2(x2-1)-3x][3(x2-1)+8x]

       =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

       =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)

  说明 本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体.

  解法2

      

    

  原式=x2[6(t2+2)+7t-36]

    =x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

    =x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]

    =(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

    =(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)

  10 分解因式:(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)

  分析 本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+yv=xy,用换元法分解因式.

   原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].令x+y=uxy=v,则

  原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

    =u4-6u2v+9v2

    =(u2-3v)2

    =(x2+2xy+y2-3xy)2

    =(x2-xy+y2)2

练习一

  1.分解因式:

  

  (2)x10+x5-2

  

  (4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5

  2.分解因式:

  (1)x3+3x2-4

  (2)x4-11x2y2+y2

  (3)x3+9x2+26x+24

  (4)x4-12x+323

  3.分解因式:

  (1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1

  (2)x4+7x3+14x2+7x+1

  (3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1

  (4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20

 

    

  

 

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